Matematika kelas XII

INTEGRAL merupakan kebalikan dari differensial (anti differensial).
Jika turunan dari F(x) adalah f(x), maka :
 f(x) dx = F(x) + c  (c = konstanta)
Integral dapat digolongkan atas :

A. Integral tak tentu (Tanpa batas)
B. Integral tertentu (Dengan batas)
1. RUMUS

FUNGSI ALJABAR
 xn dx = 1/n+1 xn+1 + c ; n  -1

FUNGSI TRIGONOMETRI
 sin x dx = - cos x + c
cos x dx = sin x + c

sifat-sifat:
a. c f(x) dx = c f(x) dx
b. ( f(x) ± g(x) ) dx = f(x) dx ± g(x) dx
c. jika f(x) dx = F(x) + c
maka f(ax) dx=1/a F(ax) + c
f(ax+b) dx=1/a F(ax+b) + c

Perluasan :
(ax + b)n dx = 1/a 1/(n+1) (ax + b)n+1 + c
sin (ax + b) dx = -1/a cos (ax + b) + c
cos (ax + b) dx = 1/a sin (ax + b) + c
CARA MENGINTEGRIR

a. SUBSTITUSI

I = f(x) dx
substitusi : x = Q(u) ; dx = Q`(u) du
I = f(Q(u)) Q`(u) du
jika ruas kanan telah diintegrir, subtitusi kembali dengan fungsi invers dari x = Q(u)
(ket : Prinsipnya adalah merubah variabel sehingga rumus dapat digunakan)

b. SUBSTITUSI TRIGONOMETRI

1. Bentuk  a2 - x2
misalkan x = a sin  = arc sin x/a
dx = a cos  d


 a2 - x2 dx = a  1 - sin2 (a cos  d)
= a2 cos2 d
= ½a2 (1 + cos2) d
= ½a2 ( + sin cos) + c

= ½a2 [arc sin x + x a2 - x2 ] + c
a a a

  a2 - x2 dx = ½ a2 arc sin x/a + ½ x  a2 - x2 + c

2. Bentuk a2 + b2x2
Gunakan substitusi : x = a/b tg
dx = a/b sec2 d

3. Bentuk b2x2 - a2
Gunakan substitusi : x = a/b sec
dx = a/b tg sec2


c. PARSIIL

Yaitu mengenai integral dari suatu bentuk yang merupakan hasil perkalian antara suatu fungsi x dengan turunan dari suatu fungsi x yang lain.

I = f(x) g(x) dx
Misalkan : u = f(x) ; dv = g(x) dx
du = ..... dx ; v = g(x) dx = ..... maka :

u du = u v - v du

Pemisalan dibuat sedemikian sehingga bentukv du jadi lebih mudah
Untuk hal-hal khusus dapat digunakan cara TABULASI

. Pengertian

Bila suatu fungsi F(x) mempunyai turunan f(x), maka bila f(x) diintegrasikan pada selang (a, b) menjadi
a a
 c dx = c(x) = F(b) - F(a)
b b
2. Sifat

b b
a.  c dx = c(x) = c(b - c) c = konstanta
a a

b a
b.  f(x) dx = -  f(x) dx c = batas ditukar
a b

a
c.  f(x) dx = 0 c = batas sama
a

b a b
d.  f(x) dx =  f(x) dx +  f(x) dx c = ( a < c < b)
a b c

1. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva
y = f(x)  0 (grafik di atas sumbu-x) ;
sumbu -x
garis x = a ; garis x = b
b
Luas =  f(x) dx = 0
a
2. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva
x = g(y)  0 (grafik di kanan sumbu-y)
sumbu -y ;
garis y = c ; garis y = d
d
Luas =  g(y) dy = 0
c
b
3. Untuk y = f (x) < 0, maka  f(x) dx < 0
a
menyatakan luas daerah yang terletak di bawah sumbu x dibatasi oleh garis x = a ; a = b. Karena luas selalu positif, maka :
b b
Luas = -  f(x) dx = f(x) dx 
a a
4. Jika y = f (x) pada interval a < x < b grafiknya memotong sumbu-x, maka luasnya merupakan jumlah dari beberapa integral tertentu.
y = f(x) memotong sumbu x di c ; a < c < b
sumbu-x ;
garis x = a ; garis x = b
c b
Luas =   f(x) dx + f(x) dx
a c
5. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva
y= f1(x) ; y=f2(x)
garis x = a ; garis x = b
b
Luas =  [f1(x) - f2(x)] dx a
6. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva
Y = f1(x) Y = f2(x) yang berpotongan pada titik-titik yang berabsis c dan d
d
Luas =  [f1(x) - f2(x)] dx c
HAL KHUSUS

1. Untuk luas antara dua kurva (fungsi kuadrat dengan sumbu-x ; fungsi kuadrat dengan fungsi kuadrat atau fungsi kuadrat dengan fungsi linier dapat digunakan rumus:
Luas = DD atau Luas = ax1 - x2  3
6a2 6
Ket. :
D = Diskriminan hasil eliminasi kedua persamaan (yang tidak disederhanakan)
a adalah koefisien a² hasil eliminasi kedua persamaan.
x1 dan x2 adalah absis titik potong kedua kurva.

2. Luas antara parabola dengan sumbu-x.
Luas = 2/3 luas persegi panjang terkecil yang melingkupinya
= 2/3 (b-a)(c)

By Taufik