matematika

oleh : Taufik Suhendar


KETENTUAN

Untuk x <<< ( x  0 ) maka sin x x (x <<< kecil sekali ;  setara ) l i m sin x = 1 l i m tg x = 1 x  0 x x  0 x l i m x = 1 l i m x = 1 x  0 sin x x  0 tg x PERLUASAN l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b x  0 bx x  0 bx l i m ax = a/b l i m ax = a/b x  0 sin bx x  0 tg bx l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b x  0 sin bx x  0 tg bx l i m sin ax = a/b l i m tg ax = a/b x  0 tg bx x  0 sin bx Rumus-rumus trigonometri yang sering digunakan untuk merubah fungsi: cos x = sin (90° - x) ctg x = tg (90° - x) sin ax = 2 sin ½ax cos ½ax cos ax = 1- 2 sin² ½ax cos²x = 1 - sin²x HAL-HAL KHUSUS l i m axm + bxm-1 + .... = x  pxn + qxn-1 + ...  untuk m > n ;
a/p untuk m =n ;
0 untuk m < n l i m ax2 + bx + c - dx2 + ex + f x   untuk a > d ;
b-e untuk m =n ;
2a
- untuk a < d
Bila salah satu suku belum berbentuk tanda akar maka dibentuk dengan cara mengkuadratkan kemudian menarik tanda akar.


DALIL L'HOSPITAL

Jika fungsi f dan g masing-masing terdifferensir pada titik x= a
dan f(a) = g(a) = 0 atau f(a) = g(a) =  maka

l i m f(x) = l i m f(x)
x  g(x) x a g(x)


CONTOH LIMIT FUNGSI ALJABAR

1. l i m x2 - 5x + 6 = (3)2 - 5(3) + 6 = 0
x 3

2. l i m 3x - 2 =  (*) Uraikan
x  2x + 1 

x(3 - 2/x) = 3 - 2/x = 3 - 0 = 3
x(2 - 1/x) 2 + 1/x 2 - 0 2

atau langsung gunakan hal khusus

3. l i m x2 - x - 1 =  (*) Uraikan
x  10x + 9 

x(x - 1 - 1/x) = x - 1 - 1/x =  - 1 - 0 =  =
x(10 - 9/x) 10 + 9/x 10 + 0 10

atau langsung gunakan hal khusus


4. l i m x2 - 3x + 2 = 0 (*) Uraikan
x 2 x2 - 5x + 6 0

(x - 1)(x - 2) = (x - 1) = 2 - 1 = -1
(x - 3)(x - 2) = (x - 3) = 2 - 3

atau langsung gunakan hal khusus  Differensial


5. l i m x3 - 3x2 + 3x - 1 = 0 (*) Uraikan
x 1 x2 - 5x + 6 0

(x - 1)3 = (x - 1)2 = (1 - 1)2 = 0
(x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6

atau langsung gunakan hal khusus  Differensial



6. l i m 2 + x - 2x = 0 (*) Hilangkan tanda akar dengan
x 2 x - 2 0 mengalikan bentuk sekawan

(x - 1)3 = (x - 1)2 = (1 - 1)2 = 0 = 0
(x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6

atau langsung gunakan hal khusus  Differensial



7. l i m (3x - 9x2 + 4x) =  -  (*) Hilangkan tanda akar
x 

l i m (3x - 9x2 + 4x ) =  3x - 9x2 + 4x  = (*) Hilangkan tanda
x   3x - 9x2 + 4x  akar
l i m (9x2 - (9x2 + 4x) = l i m -4x =
x  3x + (9x2 + 4x) x  3x + 3x [1+(a/9x)]

l i m -4 = -4 = -2
x  3 + 3(1 + 0) 6 3

atau langsung gunakan hal khusus

CONTOH LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
1. l i m sin 2x = 0 (*)
x 0 tg 3x 0
sin 2x = 3x 2 = 1 . 1 . 2 = 2
2x tg 3x 3 3 3
2. l i m 1 - cos 2x = 0
x 0 sin 2x 0
1 - (1 - 2 sin² 2x) = 2 sin² x = sin x = tg x = 0
2 sin x cos x 2 sin x cos cos x
3. l i m 1 - cos x = 0
x 0 3x² 0
2 sin² (½x) = sin (½x) . sin (½x) = 1 . 1 . 1 = 1
3 . 4 . (½x) 6 (½x) (½x) 6 6
atau langsung gunakan hal khusus  Differensial
4. l i m sin x - sin a = 0 (*)
x 0 x - a 0
2 cos ½(x+a) sin ½(x-a) = cos ½(x+a) . sin ½(x-a) =
x - a ½ (x - a )
cos ½(x+a) . 1 = cos ½(a+a) . 1 = cos a
atau langsung gunakan hal khusus  Differensial




Beberapa waktu lalu saya telah menulis tentang teorema limit trigonometri yang memudahkan. Untuk x mendekati 0,

Kita lanjutkan menjadi
Sinx = x
Satu langkah sederhana di atas sangat membantu siswa memahami limit trigonometri. Bagaimana pun pemahaman tentang bentuk tak tentu harus selalu menjadi landasan utama.
Pada kesempatan ini saya justru ingin mencatat pembuktian teorema di atas. Saya kaget karena metode pembuktian saya berbeda dengan buku Kalkulus karya Purcell.
Sesuai saran Paman APIQ saya perlu mencatatnya.
Bayangkan sebuah lingkaran yang berpusat di titik O dengan jari-jari 1. Titik A terletak pada lingkaran, titik B terletak pada sumbu X, dengan sudut AOB = s yang mendekati 0. Anggap lingkaran memotong sumbu X positif di titik C. Dari titik B kita dapat membuat busur dengan jari-jari OB sampai memotong garis OA di titik D.
Maka
panjang busur BC = s
panjang AB = sin(s)
panjang BD = s.cos(s)
Jelas berlaku
BD < AB < BC
s.cos(s) < sin(s) < s
cos(s) < < 1
1 < < 1
terbukti.
Bagaimana menurut Anda?
Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)